تابع زتای ریمان

پيوندها

فروش ساعت مچی" target="_blank" >فروش ساعت مچی
مرجع فناوری و تکنولوژی(نارنجی)
سایت تخصصی علوم تجربی
اپراتور رایتل
وبسایت شخصی مهندس ساکت
فیزیک
ردیاب ماشین
جلوپنجره اریو
اریو زوتی z300
جلو پنجره ایکس 60

آرشيو

پيوندهاي روزانه

نويسندگان

محمد حسن ابوالحسنی

آخرين نوشته هاي من

اینتل از ویلچر هوشمد خود برای استیون هاوکینگ پرده برداشت

اطلاعاتی در مورد ابراهام لینکلن

لوئی دوازدهم

بیایید ایزاک اسیموف را کمی بهتر بشناسیم.

فرانسیس بیکن که بود؟

مطالبی در مورد بیوشیمی

زیست سلولی و مولکولی چیست؟؟؟؟؟؟؟؟؟

بافت ابکش

آلانین آمینوترانسفراز

موضوعات وبلاگ

برچسب ها

امکانات وبلاگ


	نام :
	وب :
	پیام :
	2+2=:


(Refresh)

<-PollName->

<-PollItems->

خبرنامه وب سایت:

آمار وب سایت:

بازدید امروز : 4
بازدید دیروز : 5
بازدید هفته : 71
بازدید ماه : 66
بازدید کل : 90210
تعداد مطالب : 178
تعداد نظرات : 11
تعداد آنلاین : 1

طراح قالب: نگاش دات آی آر

ارائه کننده متفاوت ترين قالب ها براي سرويس هاي وبلاگدهي فارسي

هزار مقاله
مقالات مهم و مقالات به روز.با هزار مقاله به روز باشید

آخرين نوشته ها
پيوندها
پيوندهاي روزانه
آرشيو
برچسب ها
موضوعات وبلاگ
نويسندگان وبلاگ

نمايه من

درباره من

با سلام. من محمد حسن ابوالحسنی هستم.من دانش اموز سمپاد هستم و به وبلاگنویسی علاقه دارم.موضوعات کلی این وبلاگ شامل علوم پایه و نجوم و علوم اجتماعی و .. است.امید وارم از این وبلاگ خوشتان بیاید.

پروفايل من

تابع زتای ریمان

نوشته شده توسط محمد حسن ابوالحسنی | دو شنبه 11 فروردين 1393

ساعت 1:9

در ریاضیات، تابع زتای ریمان (توسط برنارد ریمان نامگذاری شد) تابعی است بسیار مهم و پرکاربرد در نظریه اعداد . زیرا با توزیع اعداد اول رابطه دارد. همچنین کاربردهای دیگری نیز در جاهای دیگر علم دارد مانند: فیزیک، نظریه احتمال و کاربرد استاتیک.

تعریف

تابع زتاریمان (ζ(s برای هر عدد مختلط s با ( جزء حقیقی بزرگتر از یک) با سری نامتناهی زیر تعریف می‌شود:

$zeta(s) = sum_{n=1}^infty frac{1}{n^s}$

در ناحیهٔ {s ∈ Re(s)> 1}، این سری همگراست و یک تابع تحلیلی در این ناحیه تعریف می‌کند. برنارد ریمان دریافت که چگونه می‌توان این تابع را به تمام نقاط مختلط با جزء حقیقی غیر یک بسط داد که حاصل آن یک تابع مرومورفیک(ζ(s است. موقعیت صفرهای این تابع تحلیلی موضوع حدس ریمان است. بنا به این حدس، برای تمام صفرهای نابدیهی این تابع تحلیلی (آنهایی که یک عدد صحیح زوج منفی نیستند)، جزء حقیقی برابر ½ است.

رابطه با اعداد اول

ارتباط این تابع با اعداد اول ابتدا توسط لئونارد اویلر پیدا شد او پی برد :

$egin{align} zeta(s)& = prod_{pinmathbb{P}} frac{1}{1-p^{-s}} & = left(1 + frac{1}{2^s} + frac{1}{4^s} + frac{1}{8^s} + cdots ight) left(1 + frac{1}{3^s} + frac{1}{9^s} + frac{1}{27^s} + cdots ight) cdots left(1 + frac{1}{p^s} + frac{1}{p^{2s}} + frac{1}{p^{3s}} + cdots ight) cdots, end{align}$

یک محاسبه نامحدود که همه اعداد اول را در بر می‌گیرد، نتیجه این محاسبات برای همگراست. این یک نتیجه منطقی از دو نمونه و نتیجه بنیادی در ریاضیات است. این فرمول برای سری‌های ژئومتریک و یک قضیه بنیادی علم حساب است.

خواص متفاوت

برای تابع زتاریمان روی نوار بحرانی، تابع Z دیده می‌شود. برای مجموع اعداد صحیح که در تابع زتا گرفتار می‌شوند، سری ز تا را مستدل می‌کند.

مقادیر ویژه

در پایین بیشترین استفاده از مقادیر تابع زتاریمان که عمومیت دارند نشان داده می‌شود.

$zeta(1) = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + cdots = infty$ ; تابع هارمونیک: $zeta(3/2) approx 2.612$

$zeta(2) = 1 + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + cdots = frac{pi^2}{6} approx 1.645$ ;

$zeta(5/2) approx 1.341$

$zeta(3) = 1 + frac{1}{2^3} + frac{1}{3^3} + cdots approx 1.202$ ;

$zeta(7/2) approx 1.127$

$zeta(4) = 1 + frac{1}{2^4} + frac{1}{3^4} + cdots = frac{pi^4}{90} approx 1.0823$

صفرهای تابع زتاریمان

تابع زتاریمان در اعداد صحیح منفی صفر دارد (به معادلهٔ تابع توجه کنید) به این صفرها، صفرهای بدیهی گویند انها فقط جزئی اند به این خاطر اثبات وجود آنها آسان است. برای مثال از رابطه گاما که در پایین امده است. صفرهای غیر بدیهی که در نظر گرفته می‌شود بیشتر با توجه به دلیل اینکه توزیع آنها نه تنها کم قابل درک است حتی مهم‌تر از آن اینست که به صورت حیرت آوری رگه‌ای در پرسش‌های ریاضی باز می‌کند. می دانیم که هر صفر غیر بدیهی تابع زتاریمان در نوار باز {s ∈ C: 0 <Re(s) <1}، که نوار بحرانی نام دارد. فرضیه ریمان اظهار می‌دارد که هر صفر غیر بدیهی دارای Re(s) = 1/2 است. در قضیه تابع زتاریمان، {s ∈ C: Re(s) = 1/2} خط بحرانی نامیده می‌شود. جایگاه صفرهای تابع زتاریمان، اهمیت بسیاری در نظریه اعداد دارد. از حقیقت اینکه تمام صفرهای غیر بدیهی در نوار بحرانی قرار دارند، یک می‌توان نظریه اعداد اول را استنتاج کرد. و یک نتیجه بهتر اینست که:

$sigmage 1-frac{1}{57.45(log{|t|})^{3/2}(log{log{|t|}})^{1/3}}.$

قوی‌ترین نتیجه از این بحث اینست که را می‌توان درستی نظریه ریمان را انتظار داشت که نتایج بسیار ژرفی در نظریه اعداد دارد. این معلوم است که تعداد نامتناهی نوار بحرانی وجود دارد. تیهلد نشان داد که اگر دنباله (γ_n) قسمت موهومی و همه صفرهای صفحه بالایی را شامل می‌شود که:

$lim_{n ightarrowinfty}gamma_{n+1}-gamma_n=0.$

قضیه نوار بحرانی ادعا می‌کند که درصد مثبتی از صفرهای غیر بدیهی در نوار بحرانی قرار دارد. در نوار بحرانی، صفر با کوچک‌ترین قسمت موهومی غیر منفی 1/2+i14.13472514... مستقیماً از معادلهٔ تابعی دیده می‌شود که صفر غیر بدیهی متقارن اند حول Re(s) = 1/2 اگر چه ζ(s)=ζ(s*)* برای تمام اعداد مختلط s ≠ 1 بکار می‌رود که صفرهای تابع زتاریمان حول قسمت حقیقی متقارن و موجودند. گادفری هرلد هاردی اثبات کرد تباع زتای ریمان بی‌نهایت صفر دارد.(هاورد و. ایوز، صفحهٔ ۲۵۸)- امروزه اثبات فرضیه ریمان که به RH معروف است مهمترین مسئله اثبات نشده ریاضی است و برای اولین اثبات صحیح یک میلیون دلار جایزه تعیین شده است .

معادلهٔ تابع

تابع زتا، معادلهٔ تابع ای که در مقابل می‌آید را مشخص می‌کند.

$zeta(s) = 2^spi^{s-1}sinleft(frac{pi s}{2} ight)Gamma(1-s)zeta(1-s)$

که برای تمام sهای در C{0,1}. معتبر است (صدق می‌کند)، در اینجا منظور از Γ همان تابع گاماست این فرمول برای ساختن آنالیز پیوسته بکار می‌رود. در S = 1، تابع زتا مانند مانده در قطب 1 است.معادله همچنین نشان می‌دهد که تابع زتا، صفر بدیهی از -2 , -4 , … دارد. همچنین وجود دارد نمونه‌ای متقارن از معادلهٔ تابع که در همان تعریف اولیه را می‌دهد

$xi(s) = pi^{-s/2}Gammaleft(frac{s}{2} ight)zeta(s).$

این معادله به‌وسیلهٔ این معادله بدست آمده است:

$xi(s) = xi(1 - s).$

معکوس

معکوس تابع زتا از سری دریکله روی معادلهٔ موبیدس نتیجه می‌شود.

$frac{1}{zeta(s)} = sum_{n=1}^{infin} frac{mu(n)}{n^s}$

برای هر عدد مختلط s با $Re(s)>1$ .، وجود دارد عددی، از رابطه مشابه که مستلزم اعداد متفاوت است که مشخص می‌کند تابع ضربی را که محاسبات ریاضیات را روی سری دریکله می‌دهد. در بالا و با بیان تعارف برای ζ(2)، می‌توان برای حل امتحان دو پیشامد که عدد صحیح را می‌دهد استفاده کرد که برابر 6/π² است. فرض ریمان هم ارز است با این ادعا که اظهار می‌کند که وجود دارد وقتی که $Re(s)>0.5$ . است.

تابع زتاریمان از تبدیل ملین

تبدیل ملین از یک تابع fe (x) به صورت زیر تعریف می‌شود.

${ mathcal{M} f }(s) = int_0^infty f(x)x^s frac{dx}{x}$

در ناحیه‌ای که انتگرال تعریف می‌شود، تعبیرهای متفاوتی برای تابع زتا در تبدیل ملین وجود دارد. اگر قسمت حقیقی S بزرگ‌تر از 1 باشد داریم:

$Gamma(s)zeta(s) =left{ mathcal{M} left(frac{1}{exp(x)-1} ight) ight}(s)$

با حذف جمله اول بسط سری توانی از 1/(exp(x)& حول صفر، ما می‌توانیم در دیگر نواحی نیز تابع زتا را بدست آوریم با جزئیات در نوار بحرانی خواهیم داشت:

$Gamma(s)zeta(s) = left{ mathcal{M}left(frac{1}{exp(x)-1}-frac1x ight) ight}(s)$

و وقتی قسمت حقیقی بین 0 , -1 باشد داریم:

$Gamma(s)zeta(s) = left{mathcal{M}left(frac{1}{exp(x)-1}-frac1x+frac12 ight) ight}(s)$

و ما می‌توانیم همچنین پیدا کنیم جملاتی را که با اعداد اول رابطه دارند. اگر π(x) یک تابع محاسبه اعداد اول باشد پس

$log zeta(s) = s int_0^infty frac{pi(x)}{x(x^s-1)}dx$

برای مقادیری با $Re(s)>1$ . می‌توانیم رابطه‌ای بالا را با تبدیل ملین از π(x) by پیدا کنیم.

$frac{log zeta(s)}{s} - omega(s) = left{mathcal{M} pi(x) ight}(-s)$

که

$omega(s) = int_0^infty frac{pi(s)}{x^{s+1}(x^s-1)}dx$

یک مشابه تبدیل ملین مستلزم اینست که تابع J(x) محاسبه‌ای اعداد اول ریمان که اعداد ( pⁿ ) اول توانی را محاسبه می‌کند با وزن 1/nپس $J(x) = sum frac{pi(x^{1/n})}{n}$ . حال داریم:

$frac{log zeta(s)}{s} = left{mathcal{M} J ight}(-s)$

فرمول این تعبیر می‌تواند برا حل تئوری اعداد اول استفاده شود. به‌وسیلهٔ معکوس تبدیل ملین کارکردن با تابع محاسبه اعداد اول ریمان آسانتر است و می‌تواند با استفاده از آن به‌وسیله معکوس مربیوس بهبود یابد.


	نام :
	وب :
	پیام :
	2+2=:


(Refresh)